PITAGORAS DE SAMOS

Pitágoras de Samos Pitágoras de Samos (do grego Πυθαγόρας) foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos entre cerca do ano 570 a.C. e 571 a.C. e morreu em Metaponto entre cerca do ano 496 a. C. ou 497 a.C. A sua biografia está envolta em lendas. Diz-se que o nome significa altar da Pítia ou o que foi anunciado pela Pítia, pois mãe ao consultar a pitonisa soube que a criança seria um ser excepcional. Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega denominada em sua homenagem de pitagórica. Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi objecto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como referentes às viagens e aos contactos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que o Filósofo e matemático grego nasceu no ano de 580 a.C. na cidade de Samos, fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colónia grega na península itálica), cujos princípios foram determinantes para evolução geral da matemática e da filosofia ocidental cujo principais enfoques eram: harmonia matemática, doutrina dos números e dualismo cósmico essencial. Aliás, Pitágoras foi o criador da palavra “filósofo”. Acredita-se que tenha sido casado com a física e matemática grega Theano, que foi sua aluna. Supõe-se que ela e as duas filhas tenham assumido a escola pitagórica após a morte do marido. Pitágoras em moeda Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números – para eles o número (sinónimo de harmonia) era considerado como essência das coisas – é constituído então da soma de pares e ímpares, noções opostas (limitado e ilimitado) respectivamente números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação, criando a teoria da harmonia das esferas (o cosmos é regido por relações matemáticas). A observação dos astros sugeriu-lhes a ideia de que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas, por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contem as ideias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos discípulos (já que há obscuridades que cerca o pitagorismo devido ao carácter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo rectângulo. A descoberta foi enunciada no teorema de Pitágoras. Foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu provavelmente em 497 a. C. ou 496 a.C.. Índice A escola de Pitágoras Pitagóricos Números figurados Números perfeitos Teorema de Pitágoras Reitor da primeira universidade Pensamentos de Pitágoras Importância para o Direito A Tectraktys Pitagórica e o Delta Maçónico Bibliografia A escola de Pitágoras Segundo o pitagorismo, a essência, que é o princípio fundamental que forma todas as coisas é o número. Os pitagóricos não distinguem forma, lei, e substância, considerando o número o elo entre estes elementos. Para esta escola existiam quatro elementos: terra, água, ar e fogo. Assim, Pitágoras e os pitagóricos investigaram as relações matemáticas e descobriram vários fundamentos da física e da matemática. O pentagrama era o símbolo da Escola Pitagórica O símbolo utilizado pela escola era o pentagrama, que, como descobriu Pitágoras, possui algumas propriedades interessantes. Um pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular; pelas intersecções dos segmentos desta diagonal, é obtido um novo pentágono regular, que é proporcional ao original exactamente pela razão áurea. Pitágoras descobriu em que proporções uma corda deve ser dividida para a obtenção das notas musicais no início, sem altura definida, sendo uma tomada como fundamental (pensemos numa longa corda presa a duas extremidades que, quando tangida, nos dará o som mais grave – e a partir dela, gerar-se-á a quinta e terça através da reverberação harmónica. Os sons harmónicos. Prendendo-se a metade da corda, depois a terça parte e depois a quinta parte conseguiremos os intervalos de quinta e terça em relação à fundamental. A chamada SÉRIE HARMÓNICA. À medida que subdividimos a corda obtemos sons mais altos e os intervalos serão diferentes. E assim sucessivamente. Descobriu ainda que fracções simples das notas, tocadas juntamente com a nota original, produzem sons agradáveis. Já as fracções mais complicadas, tocadas com a nota original, produzem sons desagradáveis. O nome está ligado principalmente ao importante teorema que afirma: Em todo triângulo rectângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Além disto, os pitagóricos acreditavam na esfericidade da Terra e dos corpos celestes, e na rotação da Terra, com o que explicavam a alternância de dias e noites. A filosofia baseou uma doutrina chamada Filosofia explanatória Cristo-Pitagórica. A escola pitagórica era conectada com concepções esotéricas e a moral pitagórica enfatizava o conceito de harmonia, práticas ascéticas e defendia a metempsicose. Durante o século IV a.C., verificou-se, no mundo grego, uma revivescência da vida religiosa. Segundo alguns historiadores, um dos factores que concorreram para esse fenómeno foi a linha política adoptada pelos tiranos: para garantir o papel de líderes populares e para enfraquecer a antiga aristocracia, os tiranos estimulavam a expansão de cultos populares ou estrangeiros. Dentre estes cultos, um teve enorme difusão: o Orfismo (de Orfeu), originário da Trácia, e que era uma religião essencialmente esotérica. Os seguidores desta doutrina acreditavam na imortalidade da alma, ou seja, enquanto o corpo se degenerava, a alma migrava para outro corpo, por várias vezes, a fim de efectivar a purificação. Dioniso guiaria este ciclo de reencarnações, podendo ajudar o homem a libertar-se dele. Pitágoras seguia uma doutrina diferente. Teria chegado à concepção de que todas as coisas são números e o processo de libertação da alma seria resultante de um esforço basicamente intelectual. A purificação resultaria de um trabalho intelectual, que descobre a estrutura numérica das coisas e torna, assim, a alma como uma unidade harmónica. Os números não seriam, neste caso, os símbolos, mas os valores das grandezas, ou seja, o mundo não seria composto dos números 0, 1, 2, etc., mas dos valores que eles exprimem. Assim, portanto, uma coisa manifestaria externamente a estrutura numérica, sendo esta coisa o que é por causa deste valor. Pitagóricos Além de grandes místicos, os pitagóricos eram grandes matemáticos. Eles descobriram propriedades interessantes e curiosas sobre os números. Números figurados Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias propriedades dos números figurados. Entre estes o mais importante era o número triangular 10, chamado pelos pitagóricos de tetraktys, tétrada em português. Este número era visto como um número místico uma vez que continha os quatro elementos fogo, água, ar e terra: 10=1 + 2 + 3 + 4, e servia de representação para a completude do todo. α α α α α α α α α α NOTA: Os números figurados são números que podem ser representados por uma construção geométrica de pontos equidistantes. Se o arranjo formar um polígono regular, estes números chamam-se números poligonais. Dentro destes vamos destacar os números triangulares, quadrados, hexagonais. Os números figurados também podem ter outras formas ou dimensões, como por exemplo, os números “pentatopes” ou num espaço tridimensional, os números tetraédricos. A tétrada, que os pitagóricos desenhavam com um “α” em cima, dois abaixo deste, depois três e por fim quatro na base, era um dos símbolos principais do seu conhecimento avançado das realidades teóricas. Representação toda perfeita em si de qualquer um dos lados que se observe. Números perfeitos A soma dos divisores de determinado número com excepção dele mesmo, é o próprio número. Exemplos: Os divisores de 6 são: 1,2,3 e 6. Então, 1 + 2 + 3 = 6. Os divisores de 28 são: 1,2,4,7,14 e 28. Então, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras em representação gráfica Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo rectângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exactamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1: Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam simplesmente: “o número que multiplicado por si mesmo é 2“. A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais. Reitor da primeira universidade palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento, fulcrado em provas dedutivas. Existem, no entanto, indícios de que o chamado Teorema de Pitágoras (c²= a²+b²) já era conhecido dos babilónios em 1600 a.C. com escopo empírico. Estes usavam sistemas de notação sexagesimal na medida do tempo (1h=60min) e na medida dos ângulos (60º, 120º, 180º, 240º, 360º). Pitágoras percorreu por 30 anos o Egipto, Babilónia, Síria, Fenícia e talvez a Índia e a Pérsia, onde acumulou eclécticos conhecimentos: astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismo e religião. Ele foi contemporâneo de Tales de Mileto, Buda, Confúcio e Lao-Tsé. Quando retornou à sua cidade natal, Samos, indispôs-se com o tirano Polícrates e emigrou para o sul da Itália, na ilha de Crotona, de dominação grega. Aí fundou a Escola Pitagórica, a quem se concede a glória de ser a “primeira Universidade do mundo”. A Escola Pitagórica e as actividades se viram desde então envoltas por um véu de lendas. Foi uma entidade parcialmente secreta com centenas de alunos que compunham uma irmandade religiosa e intelectual. Entre os conceitos que defendiam, destacam-se: prática de rituais de purificação e crença na doutrina da metempsicose, isto é, na transmigração da alma após a morte, de um corpo para outro. Portanto, advogavam a reencarnação e a imortalidade da alma; lealdade entre os membros e distribuição comunitária dos bens materiais; austeridade, ascetismo e obediência à hierarquia da Escola; proibição de beber vinho e comer carne (portanto é falsa a informação que os discípulos tivessem mandado matar 100 bois quando da demonstração do denominado Teorema de Pitágoras); purificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia; classificação aritmética dos números em pares, ímpares, primos e fatoráveis; “criação de um modelo de definições, axiomas, teoremas e provas, segundo o qual a estrutura intrincada da Geometria é obtida de um pequeno número de afirmações explicitamente feitas e da acção de um raciocínio dedutivo rigoroso”; grande celeuma instalou-se entre os discípulos de Pitágoras a respeito da irracionalidade do ‘raiz de 2’. Utilizando notação algébrica, os pitagóricos não aceitavam qualquer solução numérica para x² = 2, pois só admitiam números racionais. Dada a conotação mística atribuída aos números, comenta-se que, quando o infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solução para o impasse, os outros discípulos o expulsaram da Escola e o afogaram no mar; na Astronomia, ideias inovadoras, embora nem sempre verdadeiras: a Terra é esférica, os planetas movem-se em diferentes velocidades nas várias órbitas ao redor da Terra. Pela cuidadosa observação dos astros, cristalizou-se a ideia de que há uma ordem que domina o Universo; aos pitagóricos deve-se provavelmente a construção do cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e a bem conhecida “seção áurea”; na Música, uma descoberta notável de que os intervalos musicais se colocam de modo que admitem expressões através de proporções aritméticas. Pitágoras é o primeiro matemático puro. Entretanto é difícil separar o histórico do lendário, uma vez que deve ser considerado uma figura imprecisa historicamente, já que tudo o que dele sabemos deve-se à tradição oral. Nada deixou escrito, e os primeiros trabalhos sobre o mesmo deve-se a Filolau, quase 100 anos após a morte de Pitágoras. Mas não é fácil negar aos pitagóricos – assevera Carl Boyer – “o papel primordial para o estabelecimento da Matemática como disciplina racional”. A despeito de algum exagero, há séculos cunhou-se uma frase: “Se não houvesse o ‘teorema Pitágoras’, não existiria a Geometria”. Ao biografar Pitágoras, Jâmblico (c. 300 d.C.) registra que o mestre vivia repetindo aos discípulos: “todas as coisas se assemelham aos números”. A Escola Pitagórica ensejou forte influência na poderosa verve de Euclides, Arquimedes e Platão, na antiga era cristã, na Idade Média, na Renascença e até em nossos dias com o Neopitagorismo. Pensamentos de Pitágoras Educai as crianças e não será preciso punir os homens. Não é livre quem não obteve domínio sobre si. Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece justo. O que fala semeia; o que escuta recolhe. Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues. Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem. Todas as coisas são números. A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus. A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus. A vida é como uma sala de espectáculos: entra-se, vê-se e sai-se. A sabedoria plena e completa pertence aos deuses, mas os homens podem desejá-la ou amá-la tornando-se filósofos. Importância para o Direito Pitágoras foi o primeiro filósofo a criar uma definição que quantificava o objectivo final do Direito: a Justiça. Ele definiu que um acto justo seria a chamada “justiça aritmética”, na qual cada indivíduo deveria receber uma punição ou ganho quantitativamente igual ao acto cometido. Tal argumento foi refutado por Aristóteles, pois ele acreditava em uma justiça geométrica, na qual cada indivíduo receberia uma punição ou ganho qualitativamente, ou proporcionalmente, ao acto cometido; ou seja, ser desigual para com os desiguais a fim de que estes sejam igualados com o resto da sociedade. A Tectraktys Pitagórica e o Delta Maçónico Tanto os antigos rituais como as mais antigas constituições maçónicas afirmam conjuntamente que a Maçonaria tem como finalidade o aperfeiçoamento do homem. Também os antigos Mistérios Clássicos tinham o mesmo objectivo e conferiam a “teletè”, ou seja, a perfeição iniciática. Esse termo técnico era, de acordo com o pitagórico Plutarco, etimologicamente associado a três significados: fim, morte e perfeição. Um manuscrito, achado pelo Locke em 1696, enuncia expressamente a existência de uma relação entre a Maçonaria e a Escola Itálica fundada por Pitágoras mais de 25 séculos atrás. As mesmas Constituições de Anderson mencionam Pitágoras e o manuscrito de Cooke afirma ser a Maçonaria a parte principal da geometria. Fica, portanto, comprovado que a arte geométrica da Maçonaria deriva, directa ou indirectamente, da geometria e aritmética pitagórica. Pitágoras (580-490 A.C.), discípulo dos mestres do Egipto, da Grécia e da Caldeia, afirmava que a aritmética e a geometria não ficavam confinadas apenas no mundo da lógica. Muito pelo contrário, religião, moral, política, música, física, etc. unificavam-se no espírito cosmológico de uma autêntica teologia racional. Em particular, a geometria era a ciência que tinha por objecto o estudo do cosmo sob o aspecto da posição e da extensão. A aritmética era a ciência do ritmo, do número, do tempo, do intervalo, e o pitagórico Arquitas discriminava entre um tempo físico e um tempo psíquico. Os números não eram considerados apenas em suas propriedades abstractas, mas também, e principalmente, em suas dimensões simbólica, psicológica, metapsíquica e esotérica. Portanto os números representavam as virtudes intrínsecas e efectivas do Grande Arquitecto do Universo, gerador e garantidor da ordem e da harmonia cósmica. Para os adeptos da Escola Itálica o um, a unidade (mónade), não era um verdadeiro “número”, mas o princípio gerador de todos os números. Analogamente o dois (díade) era tido como o gerador de todos os números pares. O primeiro verdadeiro número, o três (tríade), surgia da interacção entre a mónade e a díade. Assim, todos os demais números podiam ser obtidos por simples adição a partir da unidade, criando assim uma progressão linear de números inteiros. Todavia, a partir do três, os números podem também ter uma representação superficial. De fato o três pode ser imaginado como um terno de pontos dispostos nos vértices de um triângulo equilátero (número triangular). Assim, considerada a unidade como potencialmente triangular e o três como segundo número triangular, pode-se obter uma série ilimitada de sucessivos números triangulares mediante o desenvolvimento de um triângulo equilátero a partir de um de seus vértices. Aritmeticamente, escrita numa primeira linha a sucessão dos números lineares, pode-se deduzir a sucessão dos triangulares escrevendo a unidade sob a unidade e obtendo o triangular sucessivo como soma do elemento que o precede na mesma linha com aquele que o precede na mesma coluna: A partir do quatro os números admitem também uma representação espacial. Temos assim os números tetraédricos, piramidais, cúbicos, etc. É fácil observar como para delimitar um segmento de recta são necessários dois pontos, enquanto para delimitar uma porção de plano precisamos, no mínimo, de três pontos. Analogamente o número mínimo de planos ocorrentes para delimitar uma porção de espaço é quatro. O sólido formado pela intercessão de quatro planos é o tetraedro e, como nesse poliedro existem quatro vértices, apenas quatro pontos (tétrade) são necessários e suficientes para defini-lo univocamente. Segundo Platão o tetraedro é a última partícula que constitui os corpos: o átomo da natureza. Em síntese, acrescentando uma unidade à unidade se passa do ponto à linha, delimitada por dois pontos; acrescentando a esses dois pontos um terceiro ponto se passa ao plano mediante o triângulo. Enfim, acrescentando mais uma unidade se passa ao espaço mediante o tetraedro e nessa altura o processo pára, pois não tem sentido acrescentar mais um ponto fora do tetraedro. O conjunto formado pela mónade, díade, tríade e tétrade compreende tudo: o ponto, a linha, a superfície e o espaço. De consequência, no pensamento filosófico pitagórico a “tetraktys” (grupo de quatro) dos números 1, 2, 3 e 4 é perfeita porque compreende todos os aspectos do universo material sólido. Sobre essa tetraktys os pitagóricos prestavam juramento com essas palavras: “Eu juro por aquele que transmitiu à nossa alma a tetraktys, na qual se encontram a fonte e a raiz da eterna natureza”. Como a soma 1 + 2 + 3 + 4 = 10, também o 10 é um número perfeito. A perfeição, ou seja, o completamento da manifestação universal, é, portanto, alcançada com o número 10. A décade, que corresponde ao quarto número triangular, contém tudo, da mesma forma que a mónade contém potencialmente tudo. A representação geométrica do quarto número triangular é a seguinte: Essa reprodução da tetraktys é um verdadeiro símbolo enquanto representa contemporaneamente um triângulo equilátero e dez pontos dispostos em quatro linhas contendo respectivamente a mónade, a díade, a tríade e a tétrade. A perfeição do 10 decorre também da observação que o homem possui 10 dedos e que o nosso sistema de numeração tem base decimal. Uma outra importante relação entre o dez e o quatro é que a quarta letra do alfabeto grego, Delta, é justamente a inicial da palavra grega decas (décade) e tem a forma de um triângulo equilátero. Sem dúvida, porém, a evidência mais impressionante do carácter globalmente simbólico da tectraktys decorre da relação entre o 4 e o 10 estabelecida pela física moderna. Efectivamente, embora o comportamento macroscópico do universo seja totalmente descrito por um sistema de referência espaço temporal caracterizado por quatro dimensões (x, y, z, t), as mais recentes teorias sobre a estrutura sub-microscópica da matéria (superstring theories) necessitam de um espaço constituído de dez dimensões [3]. O símbolo pitagórico da tetraktys, na sua forma esquemática triangular, já existia no santuário de Delpho mais de 2500 anos atrás e coincide manifestamente com o Delta maçónico. Ocasionalmente o Delta tem sido interpretado como um símbolo da Trindade, mas o carácter esotérico do Delta pitagórico-maçónico nada tem a ver com o cristianismo, sendo a tetraktys um símbolo inegavelmente pagão. Roberto Aguilar M. S. Silva – A:. R:. L:. S:. Sentinela da Fronteira Bibliografia MUNDO DOS FILOSOFOS. Pitágoras de Samos. . SALADEFISICA. Pitágoras biografias/pitagoras.htm. TEQUINHA’S PLACE. A Tectraktys Pitagórica e o Delta Maçónico. . WIKIPÉDIA. Pitágoras. http://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras.